Презентация "сфера, вписанная в конус или многогранник и сфера, описаннная около конуса или многогранника". Вписанные и описанные конусы

Пирамида, вписанная в конус Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды. Пирамида, вписанная в конус Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность. Упражнение 1 Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1. Ответ: 3. Упражнение 2 Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус, диаметр основания которого равен 1. Ответ: 2 2 . Упражнение 3 Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1. Ответ: 1. Пирамида, описанная около конуса Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду. Пирамида, описанная около конуса В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность. Упражнение 1 Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1. Ответ: 2 3. Упражнение 2 Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1. Ответ: 2. Упражнение 3 Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1. Ответ: 2 3 3 . Сфера, вписанная в конус Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы. Сфера, вписанная в конус Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы. В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса. Напомним, что радиус r окружности, вписанный в треугольник, находится S по формуле r , p где S – площадь, p – полупериметр треугольника. Упражнение 1 В конус, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, вписана сфера. Найдите ее радиус. Решение. Треугольник SAB равносторонний. Высота SH равна 3 . Площадь S равна Полупериметр p равен 3. По формуле r = S/p получаем r 3 3 . 3. Упражнение 2 В конус, радиус основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту конуса. Решение. Обозначим h высоту SH конуса. Из формулы r = S/p имеем: 2 rp h , a где r = 1, a = FG = 4, p = 2 Решая уравнение находим h 8 3 2h 2 . 4 h . 2 4 h , 2 Упражнение 3 Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус вписанной сферы. Решение. Высота SH конуса равна 1. Образующая.2 Полупериметр p равен 1 По формуле r = S/p, имеем r 1 1 Ответ: r 2 1. 2 2 1. 2. Упражнение 4 Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус вписанной сферы. Решение. Радиус основания конуса равен 6. Площадь треугольника SFG равна 48, полупериметр 16. По формуле r = S/p имеем r = 3. Ответ: r = 3. Упражнение 5 Можно ли вписать сферу в наклонный конус? Ответ: Нет. Сфера, вписанная в усеченный конус Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом усеченный конус называется описанным около сферы. В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы. Упражнение 1 В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 1, вписана сфера. Найдите радиус сферы и высоту усеченного конуса. Решение. Имеем: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. Следовательно, A1A2 = 3, A1C = 1. O 1O 2 A 2 C A1 A 2 A1 C 2 Таким образом, r 2, h 2 2. 2 2 2. Упражнение 2 В усеченный конус, радиус одного основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите радиус второго основания. Решение. Пусть A1O1= 2. Обозначим r = A2O2. Имеем: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. По теореме Пифагора, имеет место равенство O 1 O 2 2 A1 A 2 2 A1 C 2 , из которого следует, что выполняется 2 2 4 (r 2) (2 r) . Решая равенство полученное уравнение относительно r, находим 1 r . 2 Упражнение 3 В усеченном конусе радиус большего основания равен 2, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60о. Найдите радиус вписанной сферы. Решение. Заметим, что осевым сечением конуса, из которого получен усеченный конус, является равносторонний треугольник со стороной 2. Радиус r сферы, вписанной в усеченный конус, равен радиусу окружности, вписанной в этот равносторонний треугольник, т.е. 3 r . 3 Упражнение 4 Образующая усеченного конуса равна 2, площадь осевого сечения 3. Найдите радиус вписанной сферы. Решение. Воспользуемся формулой r = S/p, где S – площадь осевого сечения, p – полупериметр. В нашем случае S = 3. Для нахождения полупериметра напомним, что для четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны. Значит, полупериметр равен удвоенной образующей цилиндра, т.е. p = 4. Следовательно, r = ¾. Ответ: r 3 4 . Упражнение 5 Можно ли вписать сферу в усеченный наклонный конус. Ответ: Нет. Сфера, описанная около конуса Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу. Сфера, описанная около конуса Около любого конуса (прямого, кругового) можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса. Напомним, что радиус R окружности, описанной около треугольника, находится по формуле R a b c , 4S где S – площадь, a, b, c – стороны треугольника. Упражнение 1 Около конуса, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус. Решение. Треугольник SAB равносторонний со стороной 2. Высота SH равна 3 . Площадь S равна 3 . По формуле R = abc/4S получаем R 2 3 3 . Упражнение 2 Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса. Решение. Имеем, OB = 5, HB = 4. Следовательно, OH = 3. Учитывая, что SO = OB = 5, получаем h = 8. Ответ: h = 8. Упражнение 3 Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус описанной сферы. Решение. Треугольник SAB – прямоугольный, равнобедренный. Следовательно, радиус R описанной сферы равен радиусу основания цилиндра, т.е. R = 1. Ответ: R = 1. Упражнение 4 Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус описанной сферы. Решение. В треугольнике SAB имеем: SA = SB = 10, SH = 8. По теореме Пифагора, AH = 6 и, следовательно, S = 48. Используя формулу R = abc/4S, получаем R 25 6 . Упражнение 5 Можно ли описать сферу около наклонного конуса? Ответ: Да. Сфера, описанная около усеченного конуса Сфера называется описанной около усеченного конуса, если окружности оснований усеченного конуса лежат на сфере. При этом усеченный конус называется вписанным в сферу. Около усеченного конуса можно описать сферу, если около его осевого сечения можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу описанной сферы. Упражнение 1 Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус. Решение. Заметим, что A1O1B2O2 и O1B1B2A2 – ромбы. Треугольники A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 – равносторонние и, значит, A1B1 – диаметр. Следовательно, R =2. Ответ: R = 2, Упражнение 2 Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1, образующая равна 2 и составляет угол 45о с плоскостью другого основания. Найдите радиус описанной сферы. Решение. Имеем A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = 2 , OO1 = O1C = 1. Следовательно, OO2 = 1 + 2 и, значит, R AO2 4 2 2. Упражнение 3 Радиус одного основания усеченного конуса равен 4, высота 7, радиус описанной сферы 5. Найдите радиус второго основания усеченного конуса. Решение. Имеем OO1 = 3, OO2 = 4 и, следовательно, O2A2 = 3. Ответ: 3. Упражнение 4 Найдите радиус сферы, описанной около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 4, а высота равна 5. Решение. Обозначим R радиус описанной сферы. Тогда O O1 R 2 4 , OO2 R 2 1. Учитывая, что O1O2 = 6, имеем равенство 5 R 2 4 R 2 1. Решая его относительно R, находим R 221 5 . Упражнение 5 Можно ли описать сферу около усеченного наклонного конуса. Ответ: Нет.

Рассмотрим некоторые соотношения, которые полезны при решении задач на шар, вписанный в конус.

В любой конус можно вписать шар. Вписанный в конус шар (или сфера, вписанная в конус) касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности. Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.

При решении задач на шар, вписанный в конус, удобнее всего рассмотреть сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.

Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — диаметр конуса. Вписанный в этот треугольник круг — большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара).

Для данного рисунка образующие SA=SB=l, высота конуса SO=H, радиус вписанного шара OO1=O1F=R. Так как центр вписанного круга — точка пересечения биссектрис треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB=r — радиус конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:

По теореме Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.

«Вписанный угол» - Дано: __А. Повторение материала. Найди ошибку в формулировках: Зная, как выражается. Величина центрального угла. Величина вписанного угла. Проблема № 1: Сравнить величину внешнего угла и угла при основании. Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? По рисунку б). найти величину внешнего угла. Построение перпендикулярных прямых.

«Измерение углов» - Острый, прямой, тупой, развернутый углы. Измерение углов. Транспортир применяют для построения углов. Можно приложить транспортир по другому. Прямой угол. Тупой угол. Транспортир применяют для измерения углов. Острый угол. Развернутый угол. Какой угол образует часовая и минутная стрелки часов:

«Теорема о вписанном угле» - Как называется угол с вершиной в центре окружности. Понятие вписанного угла. Найти угол между хордами. Ответ. Решение. Теорема о вписанном угле. Треугольник. Закрепление изученного материала. Острый угол. Проверь себя. Найти угол между ними. Правильный ответ. Актуализация знаний учащихся. Радиус окружности.

«Угол и его измерение» - Часовая и минутная стрелки часов образуют в 5 часов тупой угол. Построение углов. На клетчатой бумаге. Развернутый угол. Тупой угол. Острый угол. Для измерения углов применяют транспортир. Прямым углом называют половину развернутого угла. Измерение углов. С помощью транспортира. Углы измеряют в градусах.

«Угол, вписанный в окружность» - Следствия. Укажите изображенные на рисунке вписанные углы. Вписанный угол. Какой угол называется центральным. Цели урока. Угол, вершина которого лежит на окружности. Случаи расположения луча. Найдите. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Какие из углов, изображенных на рисунке, являются вписанными.

Сфера, вписанная в цилиндр Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом цилиндр называется описанным около сферы. В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна диаметру его основания. Ее центром будет точка O, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра. Радиус сферы R будет равен радиусу окружности основания цилиндра.

Сфера, описанная около цилиндра Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра. Около любого цилиндра можно описать сферу. Ее центром будет точка O, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра. Радиус сферы R вычисляется по формуле где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.

Цилиндр, вписанный в призму Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания цилиндра. При этом, призма называется описанной около цилиндра В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность. Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Высота цилиндра равна высоте призмы.

Цилиндр, описанный около призмы Цилиндр называется описанным около призмы, если его основания описаны около оснований цилиндра. При этом, призма называется вписанной в цилиндр Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности. Высота цилиндра равна высоте призмы. радиусу окружности, описанной около основания призмы. Радиус основания цилиндра равен