Применение различных способов разложения многочленов на множители. Применение различных способов разложения многочлена на множители

• Формирование умений применять различные способы для разложения на множители.
• Способствовать воспитанию культуры речи, аккуратности записи, самостоятельности.
• Формирование умений частично-поисковой деятельности: осознавать проблему, анализировать, делать выводы.

Оборудование: учебник, доска, тетрадь, карточки с заданиями.

Тип урока: Урок применения ЗУН.

Метод обучения: проблемный, частично-поисковый.

Форма организации учебной деятельности: групповая, фронтальная, индивидуальная, работа в парах.

Продолжительность: 1 урок (45 мин)

План урока:

1. Организация начала занятия. (1 мин)
2. Проверка домашнего задания. (2 мин)
3. Актуализация. (5 мин)
4. Изучение нового материала. (10 мин)
5. Закрепление нового материала. (15 мин)
6. Контроль и самопроверка знаний. (8 мин)
7. Подведение итогов. (2 мин)
8. Домашнее задание. (2 мин)

Ход урока

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята.

Тема урока “Применение различных способов для разложения на множители”. Сегодня мы будем с вами формировать навыки применения различных способов разложения на множители и еще раз убедимся в полезности умения раскладывать многочлен на множители.

Желаю вам поработать активно на уроке. (Записать тему в тетрадь) .

II. Проверка домашнего задания

Перед началом урока учащиеся сдают тетради с выполненным домашним заданием на проверку. Обсуждаются вопросы, вызвавшие затруднения.

III. Актуализация опорных знаний.

Прежде чем мы приступим к решению задач, проверим, насколько мы готовы к этому. Давайте вспомним, что мы знаем по теме урока.

3.1. Фронтальный опрос:

а) Что значит разложить многочлен на множители?
б) Какие основные методы разложения многочлена на множители вы знаете?
в) Любой многочлен можно разложить на множители? Например?
г) В каких заданиях иногда полезно использовать разложение на множители?

3.2. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.

3.3. Найдите неверное утверждение:

а)a 2 + b 2 – 2ab = (а – b) 2

б) m 2 + 2mn – n 2 = (m – n) 2

в) –2pt + p 2 + t 2 = (p – t) 2

г) 25 – 16 с 2 = (5 – 4с)(5 – 4с) (ошибки б, г)

3.4. Представьте в виде произведения: а) 64x 2 – 1; б) (d - 3) 2 – 36;

3.5. Решите уравнение х 2 – 16 = 0 (4; –4)

3.5. Найти значение выражения 34 2 – 24 2 (580)

IV. Изучение материала

Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения.

Как вы думаете, бывают ли ситуации, в которых удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов?

Найти ответ на этот вопрос нам помогут следующее задание:

Разложите многочлен на множители и укажите, какие способы использовались при этом. (Работа в парах с последующим решением у доски)

Пример 1. 9x 3 – 36x применили 2 способа:

Пример 2. a 2 + 2ab + b 2 – c 2 применили 2 способа:

• группировку;
• использование формул сокращенного умножения.

Пример 3. y 3 – 3y 2 + 6y – 18 применили 3 способа:

• группировку;
• использование формул сокращенного умножения;
• вынесение общего множителя за скобки.

Пример 4. x 3 + 3x 2 + 2x применили 3 способа:

• вынесение общего множителя за скобки;
• предварительное преобразование;
• группировку.

Делаем вывод: иногда удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. Чтобы успешно решать такие примеры, сегодня давайте выработаем план последовательного их применения:

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

V. Упражнения для закрепления изложенной темы

5.1. Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида ах 2 + bх + с = 0 (а ≠ 0) (такие уравнения называются квадратными, мы с вами займемся их изучением в 8 классе).

* Решить уравнение: а) х 2 – 17х + 72 = 0, б) х 2 + 10х + 21 = 0

Подсказка: Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

(Два ученика решают самостоятельно в тетради уравнения. Ответ: а) 8; 9; б) - 1; - 5).

Выполнить упражнение из учебника №1016 (в), 1017(в), стр. 186

(Два ученика решают на доске, остальные по вариантам в тетради ).

5.2. Решить уравнения (Учащиеся работают в парах с последующей самопроверкой)

№ 949, стр.177 а) х 3 – х = 0 б) 9х – х 3 = 0 в) х 3 + х 2 = 0 г) 5х 4 – 2х 2 = 0

** (Индивидуальные задания для более подготовленных учащихся)

Карточка 1	Карточка 2	Карточка 3
Решите уравнение и укажите сумму корней x 2 + 3x + 6 + 2x = 0		Решите уравнение и укажите сумму корней

x(x+3) +2(3+x) =0 сумма равна -5

Сумма корней данного уравнения:

Сумма корней уравнения:.

VI. Контроль и самопроверка знаний.

Рассматриваемая тема – неотъемлемая часть ГИА по математике. Для контроля и самопроверки знаний по данной теме вам предлагается выполнить тестовые задания из тренировочных заданий ГИА. В тестовых заданиях обведите ответ.

Индивидуальная работа по карточкам: (Учащиеся выполняют тестовые задания ГИА , + самопроверка)

Какие из данных выражений тождественно равны 4х-10у 2(2х-5у) -2(5у-2х) -10у-4х -10у+4х? а)1;3; б) все; в)1;2;4; г)нет	Какие из данных выражений тождественно равны - 3(-2а+у) -3(-у+2а) 6а-3у 3(2а-у) 3у-6а? а) все; б)2; у) 2;3; в)1;4	Какие из данных выражений тождественно равны -6а+12р -6(а-2р) 12р-6а 6(-а+2р) -6(-р+а) ? а)1; у) все; в) 2;4; г)1;3
3а 3 -3а 2 -5а+5. а) (а-1)(3а 2 +5); б) (а+1)(3а 2 -5); в) (а-1)(5-3а 2); е) (а-1)(3а 2 +5).	Представьте в виде произведения многочленов 13ах-26х-5ав+10в. д) (а-2)(13х-5в); б) (а+2)(3х-5в); в) (3а-6)(4х-в); г) (а-2)(5в-3х).	Представьте в виде произведения многочленов bу-6b-5у 2 +30у. а) (6-у)(b-5у); б) (у -6)(b+5у); с) (у -6)(b-5у); г) (у -6)(5у- b).
Выполните действия: (5а-с) 2 . а) 25а 2 +10ас+с 2 ; б) 25а 2 +10ас-с 2 ; р) 25а 2 -10ас+с 2 ; г) 25а 2 -5ас+с 2 .	Выполните действия: (5х+2у) 2 . а) 25х 2 +20ху+4у 2 ;успех

Учитель: Сверим ответы. Прочтите слова, которые у вас получились. Это именно те слова, которые сопутствуют семиклассникам при подготовке к ГИА в 9 классе.

VII. Подведение итогов урока

Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока, оценивает работу учащихся и ориентирует учеников в домашнем задании.

VIII. Домашнее задание: п. 38, №950 (стр. 177), №1016 (г), 1017(г), стр. 186.

** Найдите значение выражения (х+3)2 -2 (х+3) (х-3) +(х-3)2 при x=100.

Значение данного выражения не зависит от выбора х.

Урок окончен. Спасибо за урок и помните, что знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днем.

Используемая литература:

1. Учебник «Алгебра 7 класс». Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. Под ред. С.А. Теляковского. – М.; Просвещение, 2009.
2. Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Алгебра 7. И.Л. Гусева и др. – М.; Интеллект-Центр, 2009.
3. Государственная итоговая аттестация (по новой форме): 9 класс. Тематические тренировочные задания. Алгебра/ ФИПИ автор-составитель: В.Л. Кузнецова. – М.: Эксмо, 2010.

Понятия "многочлен" и "разложение многочлена на множители" по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Например, 2 * x * y - это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 - многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй - d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую - со множителем b. Обратите внимание на знаки + и - в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку - значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае - только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке - это а, во второй - b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и - Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c - 5) и 7b(2c - 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с - 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Итак, полное выражение:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Таким образом, многочлен 10ас + 14bc - 25a - 35b раскладываается на 2 множителя: (2c - 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - формула, получившая название "квадрат суммы", так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
• a 2 - b 2 = (a + b)(а - b) - это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - используем формулу "квадрат суммы".
2. 25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху - удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 - это квадрат 2у.
3. Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

• 25а 2 - 400 = (5а - 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
• 36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
• с 2 - 169b 2 = (с - 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 - это 5 2 , а 10а 4 - это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

• a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 - ab + b 2) - эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
• a 3 - b 3 = (а - b)(a 2 + ab + b 2) - формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название "куб разности".

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении - при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 - это (4а) 3 , а 8b 3 - это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 - это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.

Разделы: Математика

Тип урока:

• по способу проведения - урок-практикум;
• по дидактической цели – урок применения знаний и умений.

Цель: сформировать умение разложения многочлена на множители.

Задачи:

• Дидактические : систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся, применять различные способы разложения многочлена на множители. Сформировать умение применять разложение многочлена на множители путём комбинации различных приёмов. Реализовать знания и умения по теме: “Разложение многочлена на множители” для выполнения заданий и базового уровня и заданий повышенной сложности.
• Развивающие : развивать мыслительную деятельность через решение разнотипных задач, учить находить и анализировать наиболее рациональные способы решения, способствовать формированию умения обобщать изучаемые факты, ясно и четко излагать свои мысли.
• Воспитательные : развивать навыки самостоятельной и коллективной работы, навыки самоконтроля.

Методы работы:

• словесный;
• наглядный;
• практический.

Оборудование урока: интерактивная доска или кодоскоп, таблицы с формулами сокращенного умножения, инструкции, раздаточный материал для работы в группах.

Структура урока:

1. Организационный момент. 1 минута
2. Формулирование темы, цели и задач урока-практикума. 2 минуты
3. Проверка домашнего задания. 4 минуты
4. Актуализация опорных знаний и умений учащихся. 12 минут
5. Физкультминутка. 2 минуты
6. Инструктирование по выполнению заданий практикума. 2 минуты
7. Выполнение заданий в группах. 15 минут
8. Проверка и обсуждение выполнения заданий. Анализ работы. 3 минуты
9. Постановка домашнего задания. 1 минута
10. Резервные задания. 3 минуты

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель проверяет готовность кабинета и учащихся к уроку.

2. Формулирование темы, цели и задач урока-практикума

• Сообщение о проведении заключительного урока по теме.
• Мотивация учебной деятельности учащихся.
• Формулирование цели и постановка задач урока (совместно с учащимися).

3. Проверка домашнего задания

На доске образцы решения упражнений домашнего задания №943 (а,в); №945 (в,г). Образцы выполнены учащимися класса. (Эта группа учащихся была выявлена на предыдущем уроке, свое решение они оформили на перемене). Учащиеся готовятся провести “защиту” решений.

Учитель:

Проверяет наличие домашних заданий в тетрадях учащихся.

Предлагает учащимся класса ответить на вопрос: “Какие трудности вызвало выполнение задания?”.

Предлагает сверить свое решение с решением на доске.

Предлагает учащимся у доски ответить на вопросы, которые возникли у учащихся на местах при проверке по образцам.

Комментирует ответы учащихся, дополняет ответы, разъясняет (если это необходимо).

Подводит итоги выполнения домашнего задания.

Учащиеся:

Предъявляют домашнее задание учителю.

Меняются тетрадями (в парах) и проверяют друг у друга.

Отвечают на вопросы учителя.

Сверяют свое решение с образцами.

Выступают в роли оппонентов, вносят дополнения, исправления, записывают другой способ, если способ решения в тетради отличается от способа на доске.

Обращаются за необходимыми пояснениями к учащимся, к учителю.

Находят способы проверки полученных результатов.

Участвуют в оценке качества выполнения заданий у доски.

4. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

1. Устная работа

Учитель:

Ответьте на вопросы:

1. Что значит разложить на множители многочлен?
2. Сколько способов разложения вам известно?
3. Как они называются?
4. Какой самый распространенный?

2. На доске записаны многочлены:

1. 14х 3 – 14х 5

2. 16х 2 – (2 + х) 2

3. 9 – х 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x – 2

Учитель предлагает учащимся выполнить разложение многочленов № 1-3 на множители:

• I вариант – вынесением общего множителя;
• II вариант – применением формул сокращенного умножения;
• III вариант – способом группировки.

Одному ученику предлагает разложить на множители многочлен №4 (индивидуальное задание повышенной трудности, задание выполняет на формате А 4). Затем на доске появляется образец решения заданий №1-3 (выполнен учителем), образец решения задания №4 (выполнен учеником).

3. Разминка

Учитель дает указания разложить на множители и выбрать букву, связанную с правильным ответом. Сложив буквы вы получите фамилию величайшего математика ХVII века, который внес огромный вклад в развитие теории решения уравнений. (Декарт)

5. Физкультминутка Учащимся зачитываются высказывания. Если высказывание верно, то учащиеся должны поднять руки вверх, а если неверно, то присесть за парту. (Приложение 2)

6. Инструктирование по выполнению заданий практикума.

На интерактивной доске или отдельном плакате таблица с инструкцией.

При разложении многочлена на множители необходимо соблюдать следующий порядок:

1. вынести общий множитель за скобки (если он есть);

2. применить формулы сокращенного умножения (если это возможно);

3. применить способ группировки;

4. проверить полученный результат умножением.

Учитель :

Предлагает вниманию учащихся инструкцию (делает акцент на шаге 4).

Предлагает выполнение заданий практикума по группам.

Раздает рабочие листы на группы, листы с копировальной бумагой для оформления заданий в тетрадях и их последующей проверки.

Определяет время на работу в группах, на работу в тетрадях.

Учащиеся :

Читают инструкцию.

Внимательно слушают учителя.

Рассаживаются по группам (по 4-5 человек).

Готовятся к выполнению практической работы.

7. Выполнение заданий в группах

Рабочие листы с заданиями для групп. (Приложение 3)

Учитель :

Управляет самостоятельной работой в группах.

Оценивает умение работать учащихся самостоятельно, умение работать в группе, качество оформления рабочего листа.

Учащиеся :

Выполняют задания на листах с копировальной бумагой, вложенных в рабочую тетрадь.

Обсуждают способы рационального решения.

Оформляют рабочий лист от группы.

Готовятся к защите выполненной работы.

8. Проверка и обсуждение выполнения задания

На интерактивной доске ответы.

Учитель :

Собирает копии решений.

Управляет работой учащихся, отчитывающихся по рабочим листам.

Предлагает провести самооценку своих работ, сравнить ответы по тетрадям, рабочим листам и образцам на доске.

Напоминает критерии выставления отметки за работу, за участие в ее выполнении.

Дает разъяснения по возникающим вопросам решения или самооценки.

Подводит первые итоги выполнения практической работы и рефлексию.

Подводит (совместно с учащимися) итог урока.

Говорит о том, что окончательно итоги будут подведены после проверки копий работ, выполненных учащимися.

Учащиеся :

Сдают копии учителю.

Рабочие листы крепят на доске.

Отчитываются о выполнении работы.

Осуществляют самопроверку и самооценку выполнения работы.

9. Постановка домашнего задания

На доске записано домашнее задание: № 1016(а,б); 1017 (в,г); № 1021 (г,д,е)*

Учитель :

Предлагает записать обязательную часть задания на дом.

Дает комментарий к его выполнению.

Предлагает более подготовленным ученикам записать № 1021 (г,д,е)*.

Сообщает, что нужно подготовиться к следующему уроку обзорного повторения

В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:

a(b + c) = ab + bc

Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:

ab + bc = a(b + c)

Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим

ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.

При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.

Рассмотрим полином 14ab - 63b 2 . Каждый из входящих в него одночленов можно представить как произведение:

Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции - раскрытия скобки:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.

Далее смотрим на степени у этих переменных. В общем множителе у букв должны быть минимальные степени, которые встречаются в слагаемых. Так, у переменной a в многочлене степени 3, 2, и 4 (минимум 2), поэтому в общем множителе будет стоять a 2 . У переменной b минимальная степень равна 3, поэтому в общем множителе будет стоять b 3:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.

Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Еще один пример. Необходимо разложить выражение

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)

Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому

-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

Значит, можно заменить (3x - 8y) на - (8y - 3x):

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

Ответ: (8y - 3x)(5t - 2s).

Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:

(a - b) = - (b - a)

Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:

Этот прием часто используется при решении заданий.

Способ группировки

Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение

ab - 5a + bc - 5c

Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

Теперь можно вынести выражение b - 5:

a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.

Пример. Разложим полином 6xy + ab- 2bx- 3ay.

Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

Разности 3y - b и b - 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:

(b - 3y) = - (3y - b)

Используем эту замену:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

В результате получили тождество:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

Ответ: (3y - b)(2x - a)

Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

Теперь рассмотрим задание повышенной сложности

Пример. Разложите квадратный трехчлен x 2 - 8x +15.

Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:

Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

Сгруппируем слагаемые:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

Ответ: (x- 5)(х - 3).

Конечно, догадаться о замене - 8х = - 3х - 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x 2 - 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:

С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= - 3 и b = - 5. Тогда

(x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15

в чем можно убедиться, раскрыв скобки.

Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0.5x - 2.5)

Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:

(2x - 6)(0.5x - 2.5) = (x - 3) * 2 * (0.5x - 2.5) = (x - 3)(x - 5)

В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,

невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.

Применение разложение многочленов на множители

Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

Обозначим сумму

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:

x + 2 9 = 2(1 + x)

Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):

x + 2 9 = 2(1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Теперь выразим искомую нами сумму через х:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.

Теперь вычислим значение выражения

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

Зная это, произведем замену в исходном выражении:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

Вынесем 3 12:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

Произведение 3 12 .73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81 4 - 9 7 + 3 12 делится на это число.

Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2)

(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение

(x - y)(x + y) - 2x(x - y)

не является положительным числом.

Решение. Вынесем общий множитель х - у:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядком букв x и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:

(x - y) = -(y - x)

Тогда можно записать:

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у - х) 2 . Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.

Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:

Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.

Пример. Решите уравнение (s - 1)(s + 1) = 0.

Решение. В левой части записано произведение мономов s - 1 и s + 1, а в правой - ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s - 1, или s + 1:

(s - 1)(s + 1) = 0

s - 1 = 0 или s + 1 = 0

s = 1 или s = -1

Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.

Ответ: -1; 1.

Пример. Решите уравнение 5w 2 - 15w = 0.

Решение. Вынесем 5w:

Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:

5w = 0 или (w - 3) = 0

w = 0 или w = 3

Ответ: 0; 3.

Пример. Найдите корни уравнения k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

Решение. Сгруппируем слагаемые:

k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3(k - 8) = 0

(k 3 + 3)(k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 или k - 8 = 0

k 2 = -3 или k = 8

Заметим, что уравнение k 2 = - 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.

Пример. Найдите корни уравнения

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(u + 3) = 0

2u - 12 = 0 или u + 3 = 0

u = 6 или u = -3

Ответ: - 3; 6.

Пример. Решите уравнение

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0

t 2 - 5t = 0 или t 2 - 5t + 6 = 0

t = 0 или t - 5 = 0

t = 0 или t = 5

Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену - 5t = - 2t - 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:

t 2 - 5t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3(t - 2) = 0

(t - 3)(t - 2) = 0

T - 3 = 0 или t - 2 = 0

t = 3 или t = 2

В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.